Fractales

Cette page est le TIPE que j’ai présenté en mai 2000. Il explique les bases des fractales : la façon dont on les obtient, quelques résultats simples… Comme vous le constaterez, il est relativement condensé, de quoi survoler ce domaine avant d’aller éventuellement plus loin… Si seul l’aspect esthétique vous intéresse, je vous conseille de télécharger les logiciels permettant de les créer sur PC (tout en bas de cette page).

Les courbes fractales sont des objets mathématiques créés soit grâce à des procédés de récurrence (le flocon de Von Koch, par exemple), soit en utilisant des suites de nombres complexes. C’est à ce second type de fractales que nous allons nous intéresser, et plus particulièrement à l’ensemble de Mandelbrot, qui a l’avantage d’être basé sur une suite simple…
Nous expliquerons tout d’abord la façon dont on obtient cet ensemble, pour ensuite voir ses propriétés. Nous élargirons enfin le sujet aux autres fractales existantes et nous verrons leurs applications « pratiques ».

I Théorie de l’ensemble de Mandelbrot (ou ensemble M)

I-1 L’ensemble M

 

On considère la suite complexe : .
Si, pour un donné, la suite est bornée, on dit que ce appartient à l’ensemble de Mandelbrot. Dans le cas contraire, il ne lui appartient pas. En pratique, on utilise un ordinateur pour déterminer le comportement de la suite après un certain nombre d’itérations (infini en théorie, une centaine en réalité).

I-2 Représentation graphique de l’ensemble

 

La représentation graphique tient une place importante dans l’étude des fractales. Celle-ci est obtenue sur un ordinateur dont l’écran représente le plan complexe. On trace la courbe point par point (pixel par pixel).
On affecte à l’affixe d’un pixel de l’écran et on calcule les premiers termes de la suite, et ainsi de suite avec tous les points de l’écran…
Si la suite diverge pour un point donné, on lui affecte une couleur définie au départ, si elle converge, la couleur associée dépendra du nombre d’itérations au bout desquelles la convergence est constatée ().
On détermine ce comportement en considérant le module, la partie réelle, la partie imaginaire, ou d’autres expressions qui les font intervenir…
On peut, grâce à l’ordinateur, changer les couleurs ainsi définies pour un but de clarté de la représentation, mais aussi d’esthétique…

II Quelques propriétés de l’ensemble

II-1 Remarques générales

M est symétrique par rapport à l’axe car bornée et bornée.
Il a été démontré que l’ensemble était contenu, sur l’axe réel, dans l’intervalle . Cela s’explique, par le fait qu’un complexe de départ trop grand en module aura tendance à faire diverger la suite vers l’infini, et inversement. Pour cela, l’ensemble M est contenu dans un cercle de rayon 2 et centré sur l’origine.
Plus difficilement visible, cet ensemble est connexe, ce qui signifie que la « frontière » entre l’extérieur et l’intérieur est constituée d’une seule ligne de longueur infinie, et infiniment brisée. En d’autres termes, on peut relier deux points quelconques de celle-ci par cette ligne…
On constate aussi l’auto similarité : le même motif se retrouve à plusieurs endroits du graphe et à des échelles différentes.
Ces propriétés se retrouvent sur d’autres fractales, ainsi que des symétries,…

II-2 Quelques Z0 remarquables

On peut introduire quelques points très simples : si on choisit , la suite est stationnaire à 2 (). De la même façon, fait osciller la suite entre 0 et .
On peut maintenant rechercher les points qui appartiennent clairement à l’ensemble : les points fixes de la suite, solutions de
. On montre ainsi que le seul point fixe est 0, résultat trouvé par : .
En revanche, il existe des points pour lesquels la suite est attirée vers un point fixe sans être constante. On retrouve par exemple le déjà rencontré… ()

II-3 Cycles d’ordre n

Une suite possède un cycle d’ordre n quand sa limite est n points atteints successivement (avec une période n) par les termes de la suite. On trouve les points qui génèrent pour la suite un cycle d’ordre en résolvant l’équation : . Pour un cycle d’ordre supérieur à 3, cela nous amène à résoudre une équation de degré : , ce qui est impossible formellement …On peut quand même remarquer que
On résout de même l’équation pour connaître les cycles d’ordre 2.

Il a été démontré que les se trouvant dans le centre («bourgeon central ») correspondent à une suite qui ne possède qu’un point attracteur. Les résultats précédents permettent de montrer que la suite possède deux points attracteurs dans le plus petit situé à gauche du bourgeon central (). Pour chacun d’entre eux, la suite possède un nombre de points attracteurs fixé. En fait, si on considère deux bourgeons correspondant à une suite en ayant respectivement p et q, le plus gros bourgeon situé entre les deux correspondra à une suite en ayant p+q.

III Autres types de fractales

 

On peut remplacer la suite une infinité d’autres suites et construire de la même façon le graphe. Par exemple, , , , a étant un réel fixé…

III-1 Ensemble de Julia

 

On met en oeuvre la suite : , où cette fois, c est un complexe fixé et , l’affixe du pixel dont on veut déterminer la couleur. On cherche de la même façon à déterminer si la suite est bornée.
Alors qu’il n’existe qu’un ensemble de Mandelbrot, il existe une infinité d’ensembles de Julia, selon une infinité de c. Ces ensembles ont les mêmes propriétés que M, vues dans le II 1.
De plus, la représentation de l’ensemble pour n’importe quel c est symétrique par rapport au centre du repère : , ce qui montre que les deux suites sont égales dès la deuxième itération.
On peut, pour chaque point d’affixe c de M, associer un ensemble de Julia.
Les points appartenant à l’ensemble Mcorrespondent à un ensemble de Julia connexe.

III-2 Autres fractales…

 

En plus de l’infinité de suites que l’on peut employer, on peut changer la méthode de détermination du comportement (mod, Re, Im,…) et lui appliquer certaines transformations (sin, cos, tan, exp,…). Il est possible de modifier les palettes de couleurs, ainsi que tous les paramètres du graphe (nombre d’itérations sur chaque pixel, valeur du ε,…). On peut enfin reproduire le même procédé en trois dimensions…

IV applications des fractales

 

Les courbes fractales servent principalement à la modélisation mathématique de phénomènes très complexes. Le flocon de Von Koch (créé en introduisant un angle au centre d’une droite et en itérant sur les deux segments formés), par exemple, est apparu quand le problème de la distance des côtes de Bretagne s’est posé, notamment celui de la dimension fractale (celle de l’ensemble M est de 2).
Beaucoup de domaines de recherche utilisent les fractales : études de turbulences, de bruit sur les lignes de télécommunications (dont les rafales d’erreurs peuvent être modélisées par la poussière de Cantor), mais aussi gestion du trafic routier et Internet, économie, biologie (représentation de fougères, d’arbres, étude des algorithmes génétiques : modèles proie – prédateur,…) le but étant dans chaque cas de modéliser des comportements chaotiques…

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